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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
2.
En cada caso hallar dominio, imagen, ceros, conjuntos de positividad y de negatividad y dar la ecuación de la asintota horizontal de $f$. Graficar.
a) $f(x)=e^{x+1}$
a) $f(x)=e^{x+1}$
Respuesta
En el video de funciones exponenciales vimos que éstas no tienen restricciones de su dominio, por lo tanto:
• $Domf= \Re$
Hallemos los ceros:
$f(x)=0$
$ e^{x+1} = 0 $
Esto es absurdo, porque con la función exponencial "pura" sin sumarle o restarle un número (una constante), siempre toma valores positivos y nunca alcanza el cero. Si no te acordás andá a ver el video, yo sé lo que te digo..
Hallemos la imagen:
Para encontrar la imagen de \( f(x) \), vamos a calcular los límites de \( f(x) \) cuando \( x \) tiende a \( \infty \) y \( -\infty \):
Cuando \( x \to \infty \):
$ \lim_{x \to \infty} e^{x+1} = \infty $
Cuando \( x \to -\infty \):
$ \lim_{x \to -\infty} e^{x+1} = e^{-\infty} = \frac{1}{e^{\infty}} = 0 $
Como la función exponencial nunca toma valores negativos y se acerca a cero cuando \( x \) tiende a \( -\infty \), la imagen de la función es:
• \( Imf = (0, \infty) \)
Hallemos los conjuntos de positividad y negatividad:
Como \( e^{x+1} \) es siempre positiva para cualquier valor de \( x \), no tiene conjunto de negatividad. Fijate que ni tenés conjunto de ceros.
• $C^{+} = \mathbb{R} $
• $C^{-} = \emptyset $ (conjunto vacío)
Veamos si hay asíntota horizontal, analizando los límites cuando $x$ tiende a -infinito y + inifnito:
- A medida que \( x \to \infty \), \( f(x) \) tiende a \( \infty \), por lo que no hay asíntota horizontal en esa dirección.
- A medida que \( x \to -\infty \), \( f(x) \) tiende a 0.
• Hay AH en $y = 0$