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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4 - Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonómetricas

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2. En cada caso hallar dominio, imagen, ceros, conjuntos de positividad y de negatividad y dar la ecuación de la asintota horizontal de ff. Graficar.
a) f(x)=ex+1f(x)=e^{x+1}

Respuesta

En el video de funciones exponenciales vimos que éstas no tienen restricciones de su dominio, por lo tanto: 
• Domf=ℜDomf= \Re 



Hallemos los ceros:

f(x)=0f(x)=0
ex+1=0 e^{x+1} = 0
Esto es absurdo, porque con la función exponencial "pura" sin sumarle o restarle un número (una constante), siempre toma valores positivos y nunca alcanza el cero. Si no te acordás andá a ver el video, yo sé lo que te digo..



Hallemos la imagen: 

Para encontrar la imagen de f(x) f(x) , vamos a calcular los límites de f(x) f(x) cuando x x tiende a ∞ \infty y −∞ -\infty :

Cuando x→∞ x \to \infty :
lim⁡x→∞ex+1=∞ \lim_{x \to \infty} e^{x+1} = \infty
Cuando x→−∞ x \to -\infty :
lim⁡x→−∞ex+1=e−∞=1e∞=0 \lim_{x \to -\infty} e^{x+1} = e^{-\infty} = \frac{1}{e^{\infty}} = 0
Como la función exponencial nunca toma valores negativos y se acerca a cero cuando x x tiende a −∞ -\infty , la imagen de la función es: • Imf=(0,∞) Imf = (0, \infty)




Hallemos los conjuntos de positividad y negatividad:

Como ex+1 e^{x+1} es siempre positiva para cualquier valor de x x , no tiene conjunto de negatividad. Fijate que ni tenés conjunto de ceros.
• C+=RC^{+} = \mathbb{R}
• C−=∅C^{-} = \emptyset (conjunto vacío)




Veamos si hay asíntota horizontal, analizando los límites cuando xx tiende a -infinito y + inifnito:


- A medida que x→∞ x \to \infty , f(x) f(x) tiende a ∞ \infty , por lo que no hay asíntota horizontal en esa dirección.
- A medida que x→−∞ x \to -\infty , f(x) f(x) tiende a 0. • Hay AH en y=0y = 0
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